连续赚了两三局之后，玩家会觉得自己「手气正旺」，觉得自己的判断和游戏连上了。其实没有。这篇解释为什么连赚会让人过度自信、为什么崩盘游戏让「手气正旺」的感觉比别的游戏更像真的，以及怎样分辨一段少见的连赚和一段普通的连赚。
「手气正旺」是什么，这个说法从哪里来？
「手气正旺」（hot hand）是一种想法：在随机的事情上成功过的人，接下来再成功的机会比较大。这个说法来自篮球：一个球员连续投进几球，就是「手感正热」，下一球也比较可能进。
1985 年，Gilovich、Vallone 和 Tversky 发表了一项有名的研究，认为篮球里的「手气正旺」大体上是错觉：球迷和球员在投篮记录里看到的连进，和每一球都独立时会有的样子差不多。2018 年，Miller 和 Sanjurjo 指出，原来的分析里有一个不容易发现的统计偏差；修正之后，数据显示在某些投篮情况下，确实有一点点真的「手气正旺」。所以篮球这边的争论又重新打开了。但它搬不到崩盘游戏上，因为崩盘游戏的结果里，根本没有玩家本事的成分。
同样的错觉也出现在崩盘游戏里，但有一个关键的不同：在篮球里，「手气正旺」至少有说得通的原因（信心、肌肉记忆、对手调整防守）。在崩盘游戏里，完全没有原因。爆点在你下注之前，就由一个加密哈希或随机数生成器定好了。你之前赚过多少，对下一局的结果的影响，正好是零。
可是这种感觉一直都在。连续几局分别在 5 倍、3 倍、8 倍收手之后，玩家会觉得自己和游戏「合拍」了，觉得自己的时机抓得很准，下一个决定也会对。这种感觉，就是最纯粹的「手气正旺」的错觉。
为什么短短的连赚，明明不是本事，却感觉像本事？
三种思考上的机制碰在一起：
确认偏差。正在赚的时候，你会把成功算在自己的决定上（「我知道什么时候该收手」），把失败当成运气不好（「游戏爆得太早了」）。这种挑着记的账，编出一个「我很会」的故事，数据却不支持它。如果你客观地记下每一个决定，有赚有输、判断对的和错过的，看起来会是随机的。但你没有客观地记。你记住的，是精彩的那几局。
控制错觉。崩盘游戏感觉像靠本事，是因为每一局里，你都在一直做决定。不像老虎机，按一下就看着它转，你是主动在选什么时候收手。这种主动参与，让人觉得是自己在做主，而做主的感觉，又让人觉得一切在掌控之中。当结果刚好和你的决定对上，这种掌控就感觉是真的。它不是：爆点在你看到之前就定好了。但掌控的感觉很强烈，而且是自动冒出来的。
找原因。人的大脑天生爱找原因。看到 A 之后发生了 B，就推论是 A 造成了 B。连赚三局，就会触发这个推论：一定是我做的什么让我赚。实际上，唯一的原因是游戏的随机数生成器，而它和你做什么毫无关系。但「随机」这个原因让人不满足。大脑更喜欢一个故事，比如势头、时机、直觉，于是就自己编一个出来。
崩盘游戏里，长的连赚是真的吗？
说它真的，是因为它确实会发生。说它不是真的，是因为它说明不了以后会怎样。
连赚是独立随机事件自然会有的特性。在一款设计返还 97% 的游戏里，每一局都在 2 倍收手，大约 48.5% 的时候能拿到回报（p = 0.485）。有两个数字很容易搞混：
- 随便指定的几局刚好是连赚的机会：p^k。指定 5 局，就是 0.485^5，大约 2.7%。
- 一场里会有几段连赚：比上面那个机会看起来的多得多，因为一场 100 局里，有很多组「连续几局」。
一场 100 局，p = 0.485：
| 连赚至少 | 指定的几局全部拿到回报的机会 | 每 100 局预期有几段 | 至少碰到一段的机会 |
|---|---|---|---|
| 2 局 | 23.5% | 约 12 | 几乎一定 |
| 3 局 | 11.4% | 约 5.8 | 几乎一定 |
| 5 局 | 2.7% | 约 1.3 | 约 77% |
| 7 局 | 0.63% | 约 0.3 | 约 27% |
| 10 局 | 0.07% | 约 0.03 | 约 3% |
在 n 局里，连赚至少 k 局的段数，预期正好是 p^k + (n − k) × (1 − p) × p^k。在 p = 0.485 时，100 局里连赚 5 局或以上，大约是 1.34 段。一场里碰到一两段很普通；一段都没有，大约每 4 场就有 1 场。两种情况都不是信号。随机性本来就是这个样子。
关键的问题不是「有没有连赚？」，而是「这段连赚，能不能告诉我下一局会怎样？」在一款照设计运作的崩盘游戏里，答案应该是不能：游戏设计成第 N+1 局和第 1 到第 N 局互相独立，实验室也会检验这一点。连赚描述的是已经发生的事，不是对将来的预测。
崩盘游戏里，连赚的长度实际上是怎样分布的？
在一款公平的崩盘游戏里，连赚长度的分布，是一种几何分布。如果每局拿到回报的机会是 p，刚好连赚 k 局、然后输一局的机会是：
P(streak = k) = p^k × (1 - p)
这个分布没有记忆：不管已经连赚多久，下一局继续拿到回报的机会，永远是 p。一个连赚了 10 局的玩家，第 11 局拿到回报的机会，和一个上一局刚输的玩家一样。
实际上这代表：如果你把一款公平崩盘游戏 1 万局里的连赚长度画出来，会看到很多短的连赚（1 到 2 局）、少一些中等的连赚（3 到 5 局），还有很少的长连赚（7 局以上）。连串的错觉误读成「有周期」或「会反弹」的，正是这个模式。
拿大量局里的连赚长度和这个几何分布对比，就是直接检验每一局是不是独立。如果长的连赚出现得比预期多很多或少很多，这些局可能就不是独立的，那会是一个严重的发现。在一款照设计运作的游戏里，两者会在运气允许的范围内对得上。规律和好运时段的检查，用同样的道理解释一天里某些时段扎堆的结果。
怎么检查你的连赚是少见，还是普通？
靠感觉没办法可靠地判断。人对概率的直觉，在这里靠不住：我们大部分人从连赚里读出的意义，比它真正有的多。
但用简单的算术就可以。检查方法是这样：
- 定下什么算拿到回报。比如：「爆点高过 2 倍，就算我拿到回报。」
- 估计每一局拿到回报的机会。返还率 97% 的游戏，在 2 倍收手：大约 48.5%。
- 算出预期有几段连赚。在 n 局里，连赚至少 k 局的段数是 p^k + (n − k) × (1 − p) × p^k。在 p = 0.485 时，k = 5、n = 100：大约 1.3 段。
- 拿很多场的经验来比。100 局里有一两段连赚 5 局，是预期中的事；一段都没有，也是。只有在几千局里一直多出很多，才值得去查。不是因为你「手气正旺」，而是因为这些局可能不是独立的。
这个区别很关键：连赚出现的频率不正常，是关于游戏公平性的信号，不是关于你个人运气或本事的信号。如果连赚出现得比几何分布预期的多或少，要问的不是我是不是「手气正旺」，而是这款游戏公不公平。
碰到连赚，该怎么做？
数学上正确的做法是：什么都不做。不改下注大小，不改收手目标，不改这一场的计划。连赚说明不了以后的局。
实际上，「什么都不做」比听起来难，因为「手气正旺」的感觉很强烈。两个实用的方法：
下注大小的规则。这一场开始前，定一个固定的下注大小。不管结果怎样，都不偏离，不加也不减。这和应对想翻本的方法一样，有用的原因也一样：它让思考上的偏差，没有机会影响你下多大的注。
问自己一句。正在连赚的时候，停一下，问自己：「我是对已经赚到的感到满足，还是一心想再赚更多？」如果是后者，「手气正旺」的感觉已经在替你做主了。收手，关掉游戏，休息一下。这段连赚赚到的是真的。觉得它会继续下去，就不是了。
「手气正旺」的错觉，和连串的错觉是镜子的两面。一个告诉你输一定会停，另一个告诉你赚一定会继续。两个错的方式一样：都把预测的意义，加在一连串独立的事上。弄懂这一点，真正懂，而不只是脑子里知道，是一个崩盘游戏玩家最重要的一项思考能力。
参考资料
- Gilovich, T., Vallone, R., & Tversky, A. (1985). The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences. Cognitive Psychology, 17(3), 295-314.
- Miller, J. B., & Sanjurjo, A. (2018). Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers. Econometrica, 86(6), 2019-2047.
这一页对你有用吗？
匿名：不用账号，也不设 cookie。