怎么看倍数分布：一款「正常」的崩盘游戏是什么样子

一款诚实的崩盘游戏，倍数会照着一种特定的分布出现：一种带庄家优势、有上限截断的幂律分布。大部分局爆得很低，只有一小部分升到很高的倍数。这篇解释这种分布是什么形状、在大量局里应该是什么样子，以及怎样看出一款游戏的分布和它该有的样子对不上。

倍数分布应该是什么形状？

在一款庄家优势为 h 的公平崩盘游戏里，爆点至少是 x 的机会是：

P(multiplier ≥ x) = (1 - h) / x，其中 x ≥ 1

这是一种反比关系：x 翻倍，机会就减半。结果是一个大量集中在低数值、右边拖着一条长尾巴（很少见的高数值）的分布。

庄家优势 3%（返还率 97%）的游戏，累积的机会是：

这张表描述的，就是「正常」的样子。在一款公平、返还率 97% 的游戏上玩 1,000 局，你应该会看到大约 40 局停在 1.00×、大约 485 局升到 2 倍或以上、大约 97 局升到 10 倍或以上，以及大约 10 局升到 100 倍或以上。

这些数字不是保证，是统计上的预期。在任何一组 1,000 局里，实际的数目都会有出入。但出入不应该大得离谱，而且「很多低、很少高」的模式，应该一眼就看得出来。

幂律的形状是从哪里来的？

这个形状不是随便定的。它直接来自爆点怎么产生的数学。

大部分崩盘游戏的做法，是把一个均匀分布的随机数（哈希的输出），经过一个反比的转换，变成爆点。如果 U 在 0 到 1 之间均匀分布，爆点就是：

multiplier = (1 - h) / U

U 接近 1（哈希值高）时，倍数接近 1，就是爆得很低。U 接近 0（哈希值低）时，倍数非常高，就是少见的高倍数局。U 的均匀分布，就这样对应到倍数的反比分布。

所以分布才会是这个样子：

• 大部分的机会集中在低倍数，因为均匀范围里的一大段（比如 0.5 到 1.0），对应的都是 1 倍到 2 倍之间的倍数。
• 高倍数少见，但可能出现，因为均匀范围里的一小片（比如 0.001 到 0.01），对应的是 97 倍到 970 倍之间的倍数。
• 庄家优势在最底部最看得出来。结果往下取到两位小数，所以每一次低于 1.01× 的抽取，都显示为 1.00×。一开局就结束的局，占比大约是 h + (1 − h)/101：设计返还 97% 的游戏大约是 4%，99% 的大约是 2%。

这种做法妙在简单：一条公式、一个参数（庄家优势），整个分布就从数学里算出来了。里面没有事先设定的「连输时段」，没有「好运周期」，也没有「放松」或「收紧」。只有这条公式，设计上对每一局的随机输入分别套用。

想深入了解随机输入是怎么产生的，见讲随机数生成器的文章。至于可自行验证的机制怎样确保这条公式被诚实地套用，见我们讲可自行验证的文章。

在真实数据上，「正常」的分布是什么样子？

把一款公平游戏 1 万局以上的倍数画成直方图，应该会看到：

• 在 1.00× 有一根很高的柱子（一开局就结束的局，大约占 h + (1 − h)/101）
• 从 1.00× 到大约 3.00× 急剧往下降（所有局的大部分都在这个范围里）
• 一条又长又细、往右延伸的尾巴（偶尔出现的高倍数）
• 分布里没有缺口、没有扎堆，也没有周期性

公平的分布里，不应该看到的：

• 在高于 1× 的任何倍数上，出现第二个高峰（代表公式可能有不止一个峰）
• 在某个特定倍数突然断掉（代表可能有一个低于理论最高值的倍数上限）
• 和随机起伏对不上的周期性扎堆（比如每 10× 或 50× 就有一根高柱子）
• 服务器种子更换前后，分布看起来不一样

把观察到的分布和理论分布做正式比较，用的是拟合优度检验，比如对分组计数做卡方检验，或者对整条曲线做 Kolmogorov-Smirnov 检验。这些检验算出：如果游戏照它说的运作，观察到这样的数据，有多大可能。

在每个游戏页面上，一款游戏记录超过 1 万局之后，实验室会按这几组显示分布：低于 1.01x、1.01x 到 1.5x、1.5x 到 2x、2x 到 3x、3x 到 5x、5x 到 10x、10x 到 30x，以及 30x 以上，还附上一条到达率曲线，和在固定收手目标的返还率。每个数字都附上样本量、时间和 95% 误差范围。从游戏列表开始，或者看单独一款，比如 Aviator 或 Spaceman。

按游戏看：低于 1.01x 就爆的局，和升到 10x 的局

游戏	局数，截至	低于 1.01x（95% 误差范围）	如果官方说的属实（低于 1.01x）	升到 10x（95% 误差范围）	如果官方说的属实（10x）	问答
Aviator	43,938 · 10月17日 11:05 UTC	4.1%（3.9% 至 4.3%）	4.0%	9.4%（9.1% 至 9.7%）	9.7%	问答
Big Bass Crash	33,239 · 10月17日 11:06 UTC	5.5%（5.3% 至 5.8%）	5.4%	9.4%（9.1% 至 9.7%）	9.6%	问答
Crash X	50,820 · 10月17日 11:06 UTC	6.3%（6.1% 至 6.5%）	5.0%*（不在实测的 95% 误差范围里）	9.6%（9.3% 至 9.9%）	9.6%	问答
High Flyer	38,709 · 10月17日 11:06 UTC	4.0%（3.8% 至 4.2%）	4.0%	9.7%（9.4% 至 10.0%）	9.7%	问答
JetX	45,156 · 10月17日 11:07 UTC	1.9%（1.8% 至 2.0%）	—官方公布的是一个范围，标准公式算不出单一数字	9.6%（9.4% 至 9.9%）	—官方公布的是一个范围，标准公式算不出单一数字	问答
Lucky Jet	46,089 · 10月17日 11:06 UTC	4.0%（3.9% 至 4.2%）	—官方没公布返还率，没有公式数字	9.7%（9.4% 至 9.9%）	—官方没公布返还率，没有公式数字	问答
Space XY	49,481 · 10月17日 11:06 UTC	2.0%（1.9% 至 2.2%）	—官方公布的是一个范围，标准公式算不出单一数字	9.8%（9.6% 至 10.1%）	—官方公布的是一个范围，标准公式算不出单一数字	问答
Spaceman	33,518 · 10月17日 11:06 UTC	4.6%（4.4% 至 4.9%）	5.4%*（不在实测的 95% 误差范围里）	9.8%（9.5% 至 10.1%）	9.6%	问答

不正常的分布是什么样子？

不正常的分布，是观察到的数据和理论预测之间，有统计上显著的偏离。有几种模式代表可能有问题：

秒崩（一开局就爆，低于 1.01 倍）太多。如果一款游戏说返还 99%，但停在 1.00× 的局，明显比公式允许的（大约 2%）多，这款游戏留下的就比它说的多。这是最简单的一种改参数作弊：平台把秒崩的比例，调得比公布的高。

中段倍数太少。如果分布里 5× 到 20× 的结果比预期少，游戏可能用了一条改过的公式，把中段压缩了。这样会把价值从玩家（他们常常把收手目标定在中段）转到平台那边，却不会明显影响两头的极端值。

尾巴被截断。如果分布在某个特定倍数（比如 500×）突然大幅下降，游戏可能设了一个没有公开的倍数上限。这会从尾巴偷走一部分机会，再重新分配，实际上就是压低了返还率。

分布随时间变。如果分布在人多的时段和人少的时段看起来不一样，或者在种子更换前后不一样，游戏可能在动态调整参数。在一款公平的游戏里，分布应该是稳定的。不管你什么时候量，它都应该看起来一样。

这些模式都能用统计检验发现，但每一种需要不同的检验和不同的样本量。《证据分级》解释了样本量怎样决定能看出什么。

返还率和分布的形状有什么关系？

返还率和分布，是从两个角度看同一个数学对象。

一款游戏的返还率，是每下注 1，在所有可能结果上的期望值。分布告诉你每个可能结果的机会。返还率就是分布的积分，也就是所有倍数按机会加权后的平均。

改变返还率，会以一种特定的方式改变分布：返还率越低，分布就越往低数值压。具体来说：

• 设计返还 99% 的游戏，大约 2% 的局停在 1.00×，升到 10× 的时候大约是 9.9%。
• 设计返还 97% 的游戏，大约 4% 的局停在 1.00×，升到 10× 的时候大约是 9.7%。
• 设计返还 90% 的游戏，大约 11% 的局停在 1.00×，升到 10× 的时候大约是 9.0%。

按百分比看，差距很小，但几百局累积下来就多了。按相对比例看，每个倍数上的改变都一样，因为升到每个倍数的机会，都跟着返还率缩放。最看得出来的是在底部：返还率越低，一开局就结束的局，占比会翻好几倍。

所以就算是把收手目标定得低（比如 1.5×）的玩家，返还率也很重要。返还率低，不只是让少见的高倍数回报变少，也让秒崩更常发生，在你来得及做什么之前，就把你的下注吃掉。秒崩占 11% 和占 2% 的差别，就是每 100 局一开局就输掉大约两注，还是输掉大约十一注。

分布的异常怎么发现？

三种标准的统计检验，各自抓一种不同的异常：

卡方拟合优度检验。我们把倍数范围分成几组（1.00-1.50、1.50-2.00、2.00-3.00 等等），拿每组观察到的数目和预期的数目对比。卡方统计量把总的偏差算成一个数字。卡方值大（p 值低），代表观察到的分布不太可能来自理论分布。

Kolmogorov-Smirnov（KS）检验。我们拿整条累积分布函数，而不只是分组的数目，去和理论的累积分布函数（CDF）对比。KS 检验对分布任何一点的偏离都很敏感，包括尾巴。它特别擅长发现整体偏移（分布不在它该在的位置）和压缩（分布比它该有的窄）。

对分组残差做游程检验。算出每组观察值和预期值的差之后，我们检验正的和负的差是随机分布的，还是扎堆的。扎堆代表有系统性的偏离（比如游戏在 5× 到 10× 这一段一直给得少），而不是随机的噪音。

这三种检验加在一起，涵盖了常见的出错形状。一款游戏在大样本上三种都通过，它产生的分布就和它公布的设计对得上。一款游戏有一种没通过，就值得用新的局再仔细看看，因为做很多次检验，有一次没通过也可能纯属运气。

样本量决定了灵敏度。几千局可以看出很离谱的偏离；要看出不到一个百分点的差距，需要几十万局。实验室怎么算出它的数字，见我们怎么算。

分布能帮你预测下一局吗？

不能。分布描述的是一款游戏在很多局里的表现：多常爆得很低、多常升到 10 倍。它说明不了哪一局会是哪一种。历史记录说明的是过去的表现，它预测不了下一局。说能从最近的结果读出下一局的工具，我们在预测软件和机器人的检查里讲过；某些时段或某些顺序拿回得比较多的想法，见规律和好运时段。